问题
解答题
| 已知：在直角坐标系中，A、B两点是抛物线y=x2-（m-3）x-m与x轴的交点（A在B的右侧），x1、x2分别是A、B两点的横坐标，且|x1-x2|=3． （1）当m＞0时，求抛物线的解析式． （2）如果（1）中所求的抛物线与y轴交于点C，问y轴上是否存在点D（不含与C重合的点），使得以D、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）一次函数y=kx+b的图象经过抛物线的顶点，且当k＞0时，图象与两坐标轴所围成的面积是
|
答案
（1）x2-（m-3）x-m=0，
x1+x2=m-3，x1•x2=-m，
∵|x1-x2|=3，
∴（x1+x2）2-4x1•x2=9，
∴（m-3）2+4m=9，
∵m＞0，
∴m=2，
∴y=x2+x-2=0．
答：当m＞0时，抛物线的解析式是y=x2+x-2．
（2）x2+x-2=0，
x1=-2，x2=1，
∴A（1，0），
即OA=1，
把x=0代入得：y=-2，
∴OC=2，
∵以D、O、A为顶点的三角形与△AOC相似，
∠AOC=∠AOD，
∴
=OA OA
或OD OC
=AO OC
，OD OA
代入求出OD=OC=2，或OD=
，1 2
∴D的坐标是（0，2）或（0，
）．1 2
答：存在点D（不含与C重合的点），使得以D、O、A为顶点的三角形与△AOC相似，D点的坐标是（0，2）或（0，
）．1 2
（3）当x=0时，y=b，
当y=0时，x=-
，b k
∴|
b•（-1 2
）|=b k
，①1 5
y=x2+x-2=(x+
)2-1 2
，9 4
∴顶点坐标是（-
，-1 2
），9 4
代入y=kx+b得：-
=-9 4
k+b ②，1 2
由①②组成方程组，解方程组得：
，k=7.9 b=3.7
，k=2.7 b=1.1
∴y=7.9x+3.7，y=2.7x+1.1．
答：一次函数的解析式是y=7.9x+3.7或y=2.7x+1.1．