问题
解答题
已知f（x）=alnx-bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）令g（x）=f（x）-kx（k∈R），如果g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，AB的中点为G（x0，0），问g（x）在x=x0处是否取得极值．
答案
（1）f′（x）=
-2bx…1分a x
f′（2）=
-4b，f（2）=aln2-4b，a 2
∴
-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2，a 2
解得a=2，b=1…2分
由
解得0＜x＜1，f′(x)=
-2x＞02 x x＞0
∴f（x）的单调增区间是（0，1）…4分
（2）g（x）=2lnx-x2-kx（k∈R），
g′（x）=
-2x-k…5分2 x
假设结论g（x）在x=x0处取极值，则g′（x）=0成立，则有2lnx1-x12-kx1=0 (1) 2lnx2-x22-kx2=0 (2) x1+x2=2x0 (3)
-2x0-k=0 (4)2 x0
（1）-（2），得2ln
-（x12-x22）-k（x1-x2）=0，x1 x2
∴k=
-2x0．2ln x1 x2 x1-x2
由（4）得k=
-2x0，2 x0
∴
=ln x1 x2 x1-x2
，1 x0
即
=ln x1 x2 x1-x2
，2 x1+x2
即ln
=x1 x2
（5）…102•
-2x1 x2
+1x1 x2
令t=
，u（t）=lnt-x1 x2
（0＜t＜1），2t-2 t+1
∵u′（t）=
＞0，(t-1)2 t(t+1)2
∴u（t）在（0，1）上是增函数，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴lnt-
＜0，2t-2 t+1
∴（5）式不成立，与假设矛盾，…11分
故g（x）在x=x0处不是极值点…12分