由圆的方程x²+（y-1）²=1得，圆心（0，1），半径r=1

令圆x²+（y-1）²=1与直线x+y-c=0相切，

则圆心到直线的距离d=r，即

|1-c|

1+1

=1，化简得1-c=±

2

，

即c=1+

2

，c=1-

2

（舍去），

结合图象可知，当-c≥

2

-1时即c≤-

2

-1，圆上的任一点都能使不等式x+y-c≥0恒成立．

故选C．