问题 解答题

设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f'(x)满足f'(1)=2a,f'(2)=-b,其中常数a,b∈R.

(I)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.

(II)设g(x)=f′(x)e-x.求函数g(x)的极值.

答案

(I)∵f(x)=x3+ax2+bx+1∴f'(x)=3x2+2ax+b.令x=1,得f'(1)=3+2a+b=2a,解得b=-3

令x=2,得f'(2)=12+4a+b=-b,因此12+4a+b=-b,解得a=-

3
2
,因此f(x)=x3-
3
2
x2-3x+1

∴f(1)=-

5
2

又∵f'(1)=2×(-

3
2
)=-3,

故曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y-(-

5
2
)=-3(x-1),即6x+2y-1=0.

(II)由(I)知g(x)=(3x2-3x-3)e-x

从而有g'(x)=(-3x2+9x)e-x

令g'(x)=0,则x=0或x=3

∵当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,

当x∈(0,3)时,g'(x)>0,

当x∈(3,+∞)时,g'(x)<0,

∴g(x)=(3x2-3x-3)e-x在x=0时取极小值g(0)=-3,在x=3时取极大值g(3)=15e-3

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