已知过原点O作函数f（x）=ex（x2-x+a）的切线恰好有三条，切点分

问题解答题

已知过原点O作函数f（x）=e^x（x²-x+a）的切线恰好有三条，切点分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃．

（Ⅰ）求实数a的取值范围．

（Ⅱ）求证：x₁＜-3．

答案

（Ⅰ）f′（x）=e^x（x²+x+a-1），

设切点为（x₀，y₀），则切线方程为：y-e^x₀（x₀²-x₀+a）=e^x₀（x₀²+x₀+a-1）（x-x₀），

代入（0，0）得x₀³+ax₀-a=0，

由题意知满足条件的切线恰有三条，

则方程x³+ax-a=0有三个不同的解．（2分）

令g（x）=x³+ax-a，g′（x）=3x²+a．

当a≥0时，g′（x）≥0，g（x）是（-∞，+∞）上增函数，则方程x³+ax-a=0有唯一解．（3分）

当a＜0时，由g′（x）=0得x=±

，g（x）在(-∞，-

)和(

，+∞)上是增函数，

在(-

，

)上是减函数

要使方程x³+ax-a=0有三个不同的根，

只需

g(-

)＞0

)＜0.

)3-a(

)-a＞0

(

)3+a

-a＜0.

（5分）

解得a＜-

．（6分）

（Ⅱ）∵g（x）=x³+ax-a，x→∞g(x)→∞g(-

)＞0，

由函数连续性知-∞＜x₁＜-

，（8分）

∵a＜-

，∴g（-3）=-27-4a＞0，（10分）

且-3＜-

-a

，∴x₁＜-3．（12分）