问题
选择题
于直线m、n与平面α、β,有下列四个命题:
①若m∥α,n∥β且α∥β,则m∥n;
②若m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥n;
③若m⊥α,n∥β且α∥β,则m⊥n;
④若m∥α, n⊥β且α⊥β,则m∥n.
其中真命题的序号是( )
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
答案
答案：D
本题考查线线、线面、面面平行,垂直的判定和性质.①④错误可以通过反例证明.
如图(1),①利用正方体模型α∥β,m∥α,n∥β,但M与n不平行.∴①错误.
如图(2),④m∥α,n⊥β,α⊥β,但M与n相交.
如图(3),②设α∩β=l,在l上任取一点O,在平面α内,过点O作n′⊥l;
在平面β内,过点O作M′⊥l.
∵α⊥β,∴n′⊥β,m′⊥α.
∵m⊥α,n⊥β,
∴m′∥M,n′∥n.
∴m与n所成的角为m′与n′所成的角.
∵m′⊥α,
,
∴m′⊥n′.∴m⊥n.
如图(4),③∵n∥β,
∴过n作平面γ使γ∩β=n′,
∴n∥n′.
∵α∥β,m⊥α,∴M⊥β.
∵
,∴m⊥n′.∴m⊥n.
∴②③正确.