问题
解答题
定义在[-1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=1，且当a、b∈[-1，1]，a+b≠0时，有
（1）证明：f（x）是[-1，1]上的增函数； （2）若f（x）≤m2+2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围． |
答案
（1）任取x1、x2∈[-1，1]，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）
∵
＞0，f(x1)+f(-x2) x1+(-x2)
即
[x1+(-x2)]（2分）f(x1)+f(-x2) x1+(-x2)
∵x1+（-x2）＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0．
则f（x）是[-1，1]上的增函数． （5分）
（2）要使f（x）≤m2+2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只须f（x）max≤m2+2am+1，即1≤m2+2am+1对任意的a∈[-1，1]恒成立，
亦即m2+2am≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．令g（a）=2ma+m2，
只须
，g(-1)=-2m+m2≥0 g(1)=2m+m2≥0
解得m≤-2或m≥2或m=0，即为所求． （12分）