（Ⅰ）求导数可得：f'（x）=x+2e，g′(x)=

3e2

x

…（2分）

设函数f(x)=

1

2

x2+2ex与g（x）=3e²lnx+b的图象有公共点为（x₀，y₀）

由题意得 

1 2 x02+2ex0=3e2lnx0+b x0+2e= 3e2 x0 x0＞0

…（4分）

解得：b=-

e2

2

…（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(x)=3e2lnx-

e2

2

所以2(f(x)-2ex)+

a

6e2

(2g(x)+e2)=x2+alnx，即a（x-lnx）≥x²-2x…（1）

当x∈[1，e]时，lnx≤1≤x，且等号不能同时成立，∴x-lnx＞0

所以由（1）式可得a≥

x2-2x

x-lnx

在[1，e]上恒成立   …（9分）

设F(x)=

x2-2x

x-lnx

，x∈[1，e]，则F′(x)=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

…（11分）

显然有x-1≥0，又lnx≤1，∴x+2-2lnx＞0

所以F'（x）≥0（仅当x=1时取等号），

∴F（x）在[1，e]上为增函数 …（12分）

故F(x)max=F(e)=

e2-2e

e-1

所以实数a的取值范围是[

e2-2e

e-1

，+∞)．…（14分）