问题
解答题
（本小题满分12分）
四面体ABCD中，对棱AD⊥BC，对棱AB⊥CD，试证明：AC⊥BD.
答案
略
证法1：作AO⊥平面BCD于O，则BO、CO、DO分别为AB、AC、AD在平面BCD内的射影. ∵CD⊥AB,CD
平面BCD ∴CD⊥BO（三垂线定理的逆定理）
同理BC⊥DO ∴O为△BCD的垂心 从而BD⊥CO
∴BD⊥AC（三垂线定理），即AC⊥BD
证法2：作出向量
、
、
、
、
、
.
∵⊥，⊥
∴·=0，·=0
又=+，=+
∴·=·+·+
+·
=·+ (++)
=·+·=0
∴⊥ ∴AC⊥BD