问题
解答题
已知函数f（x）=x3-ax2+bx+c．
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，求实数a，b的关系式；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，且其图象与x轴有且只有3个交点，求实数c的取值范围．
答案
（Ⅰ）f'（x）=3x2-2ax+b，设切点为P（x0，y0），
则曲线y=f（x）在点P处的切线的斜率k=f'（x0）=3x02-2ax0+b，
由题意，知f'（x0）=3x02-2ax0+b=0有解，
∴△=4a2-12b≥0即a2≥3b．
（Ⅱ）由已知可得x=-1和x=3是方程f'（x）=3x2-2ax+b=0的两根，
∴-1+3=
，-1×3=2a 3
，b 3
∴a=3，b=-9．（7分）
∴f'（x）=3（x+1）（x-3），
∴f（x）在x=-1处取得极大值，在x=3处取得极小值．
∵函数y=f（x）的图象与x轴有且只有3个交点，∴f(-1)＞0 f(3)＜0.
又f（x）=x3-3x2-9x+c，∴
，-1-3+9+c＞0 27-27-27+c＜0
解得-5＜c＜27．