（Ⅰ）由题知：F(x)=

3

8

x2+lnx+2-2x，定义域为（0，+∞）；求导，得F′(x)=

(3x-2)(x-2)

4x

，令F′（x）=0

，得x=

2

3

，或x=3；∴函数F（x）的单调递增区间为(0，

2

3

]和[2，+∞)，F（x）的单调递减区间为[

2

3

，2]，

即x=

2

3

为F（x）的极大值点，x=2为F（x）的极小值点；

（Ⅱ）∵F（x）在x∈[

2

3

，+∞)上的最小值为F（2），且F（2）=

3

8

×22-4+2+ln2=ln2-

1

2

=

ln4-1

2

＞0；

∴F（x）在x∈[

2

3

，+∞)上没有零点；要使函数F（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零点，并考虑到F（x）在(0，

2

3

]单调递增且在[

2

3

，2]单调递减，故只须et＜

2

3

且F（e^t）≤0即可；

易验证F(e-1)=

3

8

•e-2+1-2e-1＞0，F(e-2)=

3

8

•e-4+lne-2+2-2e-2=

1

e2

(

3

8

•e-2-2)＜0，

所以，当t≤-2且t∈Z时均有F（e^t）＜0，此时函数F（x）在[e^t，e^-1）（t∈Z）上有零点，

即函数F（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零点时，t的最大值为-2．

（Ⅲ） 要证明：当x＞0时，不等式[1+g(x)]

1

g(x)

＜e成立，

即证：(1+x)

1

x

＜e⇔

1

x

ln(1+x)＜1⇔ln(1+x)＜x成立，

构造函数h（x）=ln（1+x）-x（其中x＞0），则h′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，

所以函数h（x）在（0，+∞）上是减函数，因而x＞0时，h（x）＜h（0）=0，

即：x＞0时，ln（1+x）＜x成立，所以当x＞0时，[1+g(x)]

1

g(x)

＜e成立； 

因为bn=n

1

n+1

，所以

(bn+1)(n+1)(n+2)

(bn)(n+1)(n+2)

=

(n+1)n+1

nn+2

=

n+1

n2

•(1+

1

n

)n＜

e(n+1)

n2

＜

3(n+1)

n2

，

令

3(n+1)

n2

＜1，得：n²-3n-3＞0，结合n∈N^*得：n≥4，

因此，当n≥4时，有

(bn+1)(n+1)(n+2)

(bn)(n+1)(n+2)

＜1，

所以当n≥4时，b_n＞b_n+1，即：b₄＞b₅＞b₆＞…，

又通过比较b₁、b₂、b₃、b₄的大小知：b₁＜b₂＜b₃＜b₄，

因为b₁=1，且n≠1时bn=n

1

n+1

≠1，所以若数列{b_n}中存在相等的两项，只能是b₂、b₃与后面的项可能相等，

又b2=2

1

3

=8

1

9

=b8，b3=3

1

4

＞b5=5

1

6

，所以数列{b_n}中存在唯一相等的两项，

即：b₂=b₈．