解 （Ⅰ）首先，x＞0f/(x)=2ax-2+

1

x

=

2ax2-2x+1

x

f′（x）有零点而f（x）无极值点，表明该零点左右f′（x）同号，故a≠0，且2ax²-2x+1=0的△=0．由此可得a=

1

2

（Ⅱ）由题意，2ax²-2x+1=0有两不同的正根，故△＞0，a＞0．

解得：0＜a＜

1

2

设2ax²-2x+1=0的两根为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，

因为在区间（0，x₁），（x₂，+∞）上，f′（x）＞0，

而在区间（x₁，x₂）上，f′（x）＜0，故x₂是f（x）的极小值点．

因f（x）在区间（x₁，x₂）上f（x）是减函数，如能证明f(

x1+x2

2

)＜-

3

2

，则更有f(x2)＜-

3

2

由韦达定理，

x1+x2

2

=

1

2a

，f(

1

2a

)=a(

1

2a

)2-2(

1

2a

)+ln

1

2a

=ln

1

2a

-

3

2

•

1

2a

令

1

2a

=t，其中设g(t)=lnt-

3

2

t+

3

2

，

利用导数容易证明g（t）当t＞1时单调递减，而g（1）=0，

∴g（t）=lnt-

3

2

t+

3

2

＜0，

因此f（

1

2a

）＜-

3

2

，

从而有f（x）的极小值f（x₂）＜-

3

2

．