问题
解答题
已知函数f(x)=ax3-
（1）当a＞2时，求函数f（x）的极小值； （2）试讨论曲线y=f（x）与x轴的公共点的个数． |
答案
（1）f′(x)=3ax2-3(a+2)x+6=3a(x-
)(x-1)2 a
∵a＞2，∴
＜12 a
∴当x＜
或x＞1时，f'（x）＞0；2 a
当
＜x＜1时，f'（x）＜02 a
∴f（x）在(-∞，
)，（1，+∞）内单调递增，在(2 a
，1)内单调递减2 a
故f（x）的极小值为f(1)=-a 2
（2）①若a=0，则f（x）=-3（x-1）2
∴f（x）的图象与x轴只有一个交点．
②若a＜0，则
＜1，2 a
∴当x＜
或x＞1时，f'（x）＜0，2 a
当
＜x＜1时，f'（x）＞02 a
∴f（x）的极大值为f(1)=-
＞0a 2
∵f（x）的极小值为f(
)＜02 a
∴f（x）的图象与x轴有三个公共点．
③若0＜a＜2，则
＞1．2 a
∴当x＜1或x＞
时，f'（x）＞0，2 a
当
＜x＜1时，f'（x）＜02 a
∴f（x）的图象与x轴只有一个交点
④若a=2，则f'（x）=6（x-1）2≥0
∴f（x）的图象与x轴只有一个交点
⑤当a＞2，由（1）知f（x）的极大值为f(
)=-4(2 a
-1 a
)2-3 4
＜0，函数图象与x轴只有一个交点．3 4
综上所述，若a≥0，f（x）的图象与x轴只有一个公共点；
若a＜0，f（x）的图象与x轴有三个公共点．