∵f(x)=

2

3

x(x2-3ax-

9

2

) (a∈R)，

∴f′（x）=2x²-4ax-3，

∴f′（1）=2-4a-3=-4a-1，

∵函数f（x）的图象上点P（1，m）处的切线方程为3x-y+b=0，

∴-4a-1=3，a=-1．

∴f（x）=

2

3

x(x2+3x-

9

2

)，

∴m=f（1）=

2

3

(1+3-

9

2

)=-

1

3

．

故选C．