问题
解答题
已知f（x）=2x3-5x，g（x）=x3+ax2+bx+c，x∈（0，+∞），设（1，f（1））是曲线y=f（x）与y=g（x）的一个公共点，且在此点处的切线相同．记g（x）的导函数为g'（x），对任意x∈（0，+∞）恒有g'（x）＞0．
（1）求a，b，c之间的关系（请用b表示a、c）；
（2）求b的取值范围；
（3）证明：当x∈（0，+∞）时，f（x）≥g（x）．
答案
（1）f'（x）=6x2-5，f（1）=-3，f'（1）=1，g'（x）=3x2+2ax+b，g（1）=1+a+b+c，g'（1）=3+2a+b．
由条件可得
故a=-a+b+c+4=0 2a+b+2=0
-1，c=-3-b 2
．b 2
（2）∵当x∈（0，+∞）时，g'（x）=3x2+2ax+b＞0恒成立，
∴△=4a2-12b＜0，或
得b∈(4-2△≥0 -
≤02a 6 g′(0)=b≥0
，4+23
)．3
（3）令F（x）=f（x）-g（x），则F（1）=0，F'（x）=3x2-2ax-b-5=3x2+（b+2）x-b-5=（3x+b+5）（x-1）．
∵x∈(0，+∞)，b∈(4-2
，4+23
)，3
∴3x+b+5＞0．
当x∈（0，1）时，F'（x）＜0，F（x）＞F（1）=0；
当x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0，F（x）＞F（1）=0．
综上，当x∈（0，+∞）时，F（x）≥0，即f（x）-g（x）≥0，即f（x）≥g（x）．