问题
解答题
已知函数f(x)=
(Ⅰ)求a、b的值; (Ⅱ)如果当x>0,且x≠1时,f(x)>
|
答案
由题意f(1)=1,即切点坐标是(1,1)
(Ⅰ)f′(x)=
-a(
-lnx)x+1 x (x+1)2 b x2
由于直线x+2y-3=0的斜率为-
,且过点(1,1),故1 2 f(1)=1 f′(1)=- 1 2
即
解得a=1,b=1.b=1
-b=-a 2 1 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=
+lnx x+1
,所以1 x
f(x)-(
+lnx x-1
)=k x
(2lnx+1 1-x2
).(k-1)(x2-1) x
考虑函数h(x)=2lnx+
(x>0),则(k-1)(x2-1) x
h′(x)=
.(k-1)(x2+1)+2x x2
(i)设k≤0,由h′(x)=
知,当x≠1时,h′(x)<0.而h(1)=0,故k(x2+1)- (x-1)2 x2
当x∈(0,1)时,h′(x)<0,可得
h(x)>0;1 1-x2
当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,可得
h(x)>01 1-x2
从而当x>0,且x≠1时,f(x)-(
+lnx x-1
)>0,即f(x)>k x
+lnx x-1
.k x
(ii)设0<k<1.由于当x∈(1,
)时,(k-1)(x2+1)+2x>0,故h′(x)>0,而1 1-k
h(1)=0,故当x∈(1,
)时,h(x)>0,可得1 1-k
h(x)<0,与题设矛盾.1 1-x2
(iii)设k≥1.此时h′(x)>0,而h(1)=0,故当x∈(1,+∞)时,h(x)>0,可得
h(x)<0,与题设矛盾.1 1-x2
综合得,k的取值范围为(-∞,0]