问题 解答题
已知函数f(x)=
alnx
x+1
+
b
x
,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)如果当x>0,且x≠1时,f(x)>
lnx
x-1
+
k
x
,求k的取值范围.
答案

由题意f(1)=1,即切点坐标是(1,1)

(Ⅰ)f′(x)=

a(
x+1
x
-lnx)
(x+1)2
-
b
x2

由于直线x+2y-3=0的斜率为-

1
2
,且过点(1,1),故
f(1)=1
f′(1)=-
1
2

b=1
a
2
-b=-
1
2
解得a=1,b=1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=

lnx
x+1
+
1
x
,所以

f(x)-(

lnx
x-1
+
k
x
)=
1
1-x2
(2lnx+
(k-1)(x2-1)
x
).

考虑函数h(x)=2lnx+

(k-1)(x2-1)
x
(x>0),则

h′(x)=

(k-1)(x2+1)+2x
x2

(i)设k≤0,由h′(x)=

k(x2+1)- (x-1)2
x2
知,当x≠1时,h′(x)<0.而h(1)=0,故

当x∈(0,1)时,h′(x)<0,可得

1
1-x2
h(x)>0;

当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,可得

1
1-x2
h(x)>0

从而当x>0,且x≠1时,f(x)-(

lnx
x-1
+
k
x
)>0,即f(x)>
lnx
x-1
+
k
x

(ii)设0<k<1.由于当x∈(1,

1
1-k
)时,(k-1)(x2+1)+2x>0,故h′(x)>0,而

h(1)=0,故当x∈(1,

1
1-k
)时,h(x)>0,可得
1
1-x2
h(x)<0,与题设矛盾.

(iii)设k≥1.此时h′(x)>0,而h(1)=0,故当x∈(1,+∞)时,h(x)>0,可得

1
1-x2
h(x)<0,与题设矛盾.

综合得,k的取值范围为(-∞,0]

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