定义在D={x∈R|x≠0}上的函数f（x）满足两个条件：①对于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）=
（Ⅰ）求过点（-1，
（Ⅱ）当x∈（0，+∞），n∈N+时，求证：fn（x）-f（xn）≥2n-2． |
（Ⅰ）令x=y=1得，f2（1）-f（1）=2，解得f（1）=-1或f（1）=2．
当f（1）=-1时，令y=1得，f（x）=-
，即f（x）=-x2+1 2x
（x+1 2
），1 x
f′（x）=-
（1-1 2
），1 x2
由f′（x）=-1得，x2=-1，此方程在D上无解，这说明曲线y=f（x）不存在与直线x+y+1=0平行的切线，不合题意，
则f（1）=2，此时，令y=1得，f（x）=
=x+x2+1 x
，f′（x）=1-1 x
，1 x2
由f′（x）=-1得，x2=
，此方程在D上有解，符合题意．1 2
设过点（-1，
）的切线切曲线y=f（x）于（x0，x0+1 4
），则切线的斜率为1-1 x0
，1 x02
其方程为y-x0-
=（1-1 x0
）（x-x0），把点（-1，1 x02
）的坐标代入整理得，1 4
5x02-8x0-4=0，解得x0=-
或x0=2，2 5
把x0=-
或x0=2分别代入上述方程得所求的切线方程是：y=-2 5
x-5和y=21 4
x+1，3 4
即21x+4y+20=0和3x-4y+4=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+
，当n∈N*时，1 x
fn（x）-f（xn）=(x+
)n-（xn+1 x
）1 xn
=
xn-1•C 1n
+1 x
xn-2•C 2n
+…+1 x2
x2•C n-2n
+1 xn-2
x•C n-1n 1 xn-1
=
xn-2+C 1n
xn-4+…+C 2n C n-2n
+1 xn-4 C n-1n
，1 xn-2
由x∈（0，+∞），n∈N*知，xn∈（0，+∞），那么
2（fn（x）-f（xn））=
xn-2+C 1n
xn-4+…+C 2n C n-2n
+1 xn-4 C n-1n 1 xn-2
+C n-1n
+1 xn-2 C n-2n
+…+1 xn-4
xn-4+C 2n
xn-2C 1n
=
xn-2+C 1n
xn-4+…+C 2n C n-2n
+1 xn-4 C n-1n 1 xn-2
+C 1n
+1 xn-2 C 2n
+…+1 xn-4
xn-4+C n-2n
xn-2C n-1n
=
（xn-2+C 1n
）+1 xn-2
（xn-4+C 2n
）+…+1 xn-4
（xn-2+C n-1n
）1 xn-2
≥2
+2C 1n
+…+2C 2n
）C n-1n
=2（
+C 1n
+…+C 2n
）C n-1n
=2[（
+C 0n
+C 1n
+…+C 2n
+C n-1n
）-C nn
-C 0n
）]C nn
=2（2n-2）
所以fn（x）-f（xn）≥2n-2．