问题
解答题
在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是棱BC 的中点， 试在棱CC1上求一点P ，使得平面A1B1P ⊥平面C1DE ．
答案
解：如图，以D 为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，P(0 ，1 ，a) ，
则D(0,0,0),A1(1,0,1) ，B1(1,1,1),
，C1(0，1,1)．
=(0，1，0)，
=（-1，1，a-1），
=(0，1，1).
设平面A1B1P的一个法向量n1= (x1，y1，z1)，则
令z1=1,x1=a-1，
∴n1=(a-1,0,1).
设平面C1DE的一个法向量n2=（x2，y2，z2），
则
令y2=1，得x2=-2，z2=-1，
∴n2=（-2，1，-1）．
∵若平面A1B1P⊥平面C1DE，
∴n1·n2=0，
∴-2(a-1)-1=0，
解得
∴当P为C1C的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.
