（1）在定义域内，

∵f(x)=

1

x

，f（x+1）=f（x）+f（1）

∴

1

x+1

=

1

x

+1⇒x2+x+1=0，

∵方程x²+x+1=0无实数解，

∴f(x)=

1

x

∉M．（6分）

（2）∵函数f(x)=lg

t

x2+1

∈M，

∴lg

t

(x+1)2+1

=lg

t

x2+1

+lg

t

2

，

∴（t-2）x²+2tx+2（t-1）=0有实数解，

t=2时，x=-

1

2

；

t≠2时，由△=4t²-4（t-2）×2（t-1）≥0，

得t2-6t+4≤0⇒t∈[3-

5

，2)∪(2，3+

5

]．

∴t∈[3-

5

，3+

5

]．（12分）