问题
解答题
已知抛物线x2=8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且
（1）证明线段FM被x轴平分； （2）计算
（3）求证|FM|2=|FA|•|FB|． |
答案
证明：（1）设A(x1，
)，B(x2，x 21 8
)，由y=x 22 8
得y′=x2 8 x 4
直线AM的方程为：y-
=x 21 8
(x-x1)x1 4
直线BM的方程为：y-
=x 22 8
(x-x2)x2 4
解方程组得x=
，y=x1+x2 2
即M（x1x2 8
，x1+x2 2
）（3分） x1x2 8
由已知
=λAF
(λ＞0)可得A，A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：y=kx+2FB
与抛物线方程x2=8y联立消y可得：x2-8kx-16=0
∴x1+x2=8k，x1x2=-16（5分）
∴
=-2即M点的纵坐标为-2，x1x2 8
∵F（0，2）
所以线段FM中点的纵坐标O
即线段FM被x轴平分． （6分）
解（2）∵F（0，2），M（4k，-2），A(x1，
)，B(x2，x 21 8
)，x 22 8
∴
=(4k，-4)，FM
=(x2-x1，AB
)
-x 22 x 21 8
∴
•FM
=4k(x2-x1)-AB (x2-x1)(x2+x1) 2
=(x2-x1)(4k-
)=0 （9分）x1+x2 2
证明：(3)∵
=(AM
，-2-x2-x1 2
) x 21 8
=(BM
，-2-x1-x2 2
)x 22 8
∵
•AM
=-BM
+(2+(x1-x2)2 4
)(2+x 21 8
)=x 22 8
+4+x1x2 2
=-8+4+4=0（13分）x 21 x 22 64
∴
⊥AM
，而 MF⊥AB所以在直角△MAB中，BM
由影射定理即得|FM|2=|FA|•|FB|（15分）