问题
计算题
如图所示，在xoy坐标系第一象限内有匀强磁场，磁场区域上边界刚好与直线y=a重合，磁感应强度为B。一个带正电的离子在坐标为（a，0）的A点以某一速度进入磁场区域，进入磁场时速度方向与x轴正向夹角为30°，离子质量为m，带电量为q。不计离子重力。
（1）若离子离开磁场时位置坐标为（a，a ）的C点，求离子运动的速度大小？
（2）当离子进入磁场的速度满足什么条件时可使离子在磁场区域运动的时间最长？并求出最长时间是多少？
答案
（1）
（2）
题目分析：(1)若离子从y轴离开磁场区域时，其运动轨迹如图1所示，
由几何关系
得轨迹半径为
又离子在磁场中
得
（2）离子在磁场中
得
运动的周期为
联立得
若
为离子运动轨迹对应的圆心角，则离子在磁场中的运动时间为
则离子在磁场中的运动时间与离子的速度大小无关，与轨迹的圆心角有关。如图2，
只有当离子从x轴离开磁场（即离子既不从磁场的上边界离开磁场，也不从y轴离开磁场）时，离子运动轨迹的圆心角最大。由几何关系，最大圆心角为
。
①若离子刚好不能从磁场区域上边界离开磁场，则轨迹恰好与上边界相切，如图3，由几何关系
得，其轨迹半径为
②若离子刚好不能从y轴离开磁场，则轨迹与y轴相切，如图4，由几何关系R2+R2sin30°=a得，其轨迹半径为R2=
综上所述，要使离子从x轴离开磁场，则其轨迹半径必须满足R＜R1，且R＜R2，即R＜
即要使离子能在磁场中运动时间最长，则离子运动的速度必须满足
运动的最长时间为t=
