问题
解答题
已知定义在R上的奇函数f（x）=x3+bx2+cx+d在x=±1处取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）试证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤4成立．
答案
（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴b=d=0，f（x）=x3+cx∴f'（x）=3x2+c
∵在x=±1处取得极值∴f'（1）=0∴c=-3
∴f（x）=x3-3x；
（2）证明：∵f'（x）=3x2-3
∴令f'（x）=3x2-3=0，x=±1且-1＜x＜1时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减
∵f（x）max=f（-1）=2，f（x）min=f（1）=-2
|f（x1）-f（x2）|≤f（x）max-f（x）min=f（-1）-f（1）2+2=4．