问题
解答题
| 已知un=an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn（n∈N*，a＞0，b＞0）． （Ⅰ）当a=b时，求数列{un}的前n项和Sn； （Ⅱ）求
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答案
（Ⅰ）当a=b时，un=（n+1）an．这时数列{un}的前n项和Sn=2a+3a2+4a3++nan-1+（n+1）an． ①
①式两边同乘以a，得aSn=2a2+3a3+4a4++nan+（n+1）an+1②
①式减去②式，得（1-a）Sn=2a+a2+a3++an-（n+1）an+1
若a≠1，（1-a）Sn=
-（n+1）an+1+a，a(1-an) 1-a
Sn=
+a(1-an) (1-a)2
=a-(n+1)an+1 1-a (n+1)an+2-(n+2)an+1-a2+2a (1-a)2
若a=1，Sn=2+3++n+（n+1）=
．n(n+3) 2
（Ⅱ）由（Ⅰ），当a=b时，un=（n+1）an，
则lim n→∞
=un un-1 lim n→∞
=(n+1)an nan-1 lim n→∞
=a．a(n+1) n
当a≠b时，un=an+an-1b++abn-1+bn=an[1+
+(b a
)2+(b a
)n]=anb a
=1-(
)n+1b a 1- b a
（an+1-bn+1）1 a-b
此时，
=un un-1
．an+1-bn+1 an-bn
若a＞b＞0，lim n→∞
=un un-1 lim n→∞
=an+1-bn+1 an-bn lim n→∞
=a．a-b(
)nb a 1-(
)nb a
若b＞a＞0，lim n→∞
=un un-1 lim n→∞
=b．a(
)n-ba b (
)n-1a b