问题
解答题
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.
（1）求证：平面AED⊥平面A1FD1；
（2）在AE上求一点M，使得A1M⊥平面ADE.
答案
(1)证明略 (2) 当
=
时，A1M⊥平面ADE
建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，
不妨设正方体的棱长为2，
则A（2，0，0），E（2，2，1），
F（0，1，0），A1（2，0，2），D1（0，0，2），
设平面AED的法向量为n1=（x1，y1，z1），
则n1·
=（x1，y1，z1）·（2，0，0）=0，
n1·
=（x1，y1，z1）·（2，2，1）=0，
∴2x1=0，2x1+2y1+z1=0.
令y1=1,得n1=(0,1,-2),
同理可得平面A1FD1的法向量n2=(0,2,1).
∵n1·n2=0，∴n1⊥n2,
∴平面AED⊥平面A1FD1.
（2）解 由于点M在直线AE上，
设=
=（0，2，1）=（0，2，）.
可得M（2，2，），∴
=（0，2，-2），
∵AD⊥A1M，∴要使A1M⊥平面ADE，
只需A1M⊥AE，
∴·=（0，2，-2）·（0，2，1）=5-2=0，
解得=.
故当=时，A1M⊥平面ADE.
