问题 解答题

设函数f(x)=x(x-1)(x-a),(a>1)

(1)求导数f′(x)并证明f(x)有两个不同的极值点x1,x2

(2)若不等式f(x1)+f(x2)≤0成立,求a的取值范围.

答案

(1)f'(x)=3x2-2(1+a)x+a.

令f'(x)=0得方程

3x2-2(1+a)x+a=0.

因△=4(a2-a+1)≥4a>0,故方程有两个不同实根x1,x2

不妨设x1<x2,由f'(x)=3(x-x1)(x-x2)可判断f'(x)的符号如下:

当x<x1时,f'(x)>0;

当x1<x<x2时,f'(x)<0;

当x>x2时,f'(x)>0

因此x1是极大值点,x2是极小值点.

(2)因f(x1)+f(x2)≤0,故得不等式x13+x23-(1+a)(x12+x22)+a(x1+x2)≤0.

即(x1+x2)[(x1+x22-3x1x2]-(1+a)[(x1+x22-2x1x2]+a(x1+x2)≤0.

又由(I)知

x1+x2=
2
3
(1+a)
x1x2=
a
3
.

代入前面不等式,两边除以(1+a),并化简得

2a2-5a+2≥0.

解不等式得a≥2或a≤

1
2
(舍去)

因此,当a≥2时,不等式f(x1)+f(x2)≤0成立.

单项选择题
问答题