（1）设a_n-a_n-1=x_n-1，则由已知条件得xn-1=

1

3

xn-2，

所以数列{a_n}组成了一个公比为

1

3

的等比数列，

其首项x1=a2-a1=

1

9

，

xn-1=x1(

1

3

)n-2=(

1

3

)n，(n=2，3，4)

即an-an-1=(

1

3

)n.

∴a_n-a₁=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）

=(

1

3

)2+(

1

3

)3+(

1

3

)n=

( 1 3 )2[1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

=

1

6

[1-(

1

3

)n-1]，

∴an=a1+

1

6

[1-(

1

3

)n-1]=

3

2

-

1

2

(

1

3

)n.

(2)

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

[

3

2

-

1

2

(

1

3

)n]=

3

2

-

lim

n→∞

1

2

(

1

3

)n=

3

2

-0=

3

2

.