问题
解答题
| 已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），k（A）表示ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数． （1）已知集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求k（P）和k（Q）； （2）若集合A={2，4，8，…，2n}，证明：k(A)=
（3）求k（A）的最小值． |
答案
（1）由题意知K（P）中的值有6，8，10，12和14五个值，∴k（P）=5，
K（Q）中的值有6，10，18，12，20，24，∴k（Q）=6
（2）证明：ai+aj（1≤i＜j≤n）共有
=C 2n
个n(n-1) 2
所以k(A)≤n(n-1) 2
下面证明所有ai+aj（1≤i＜j≤n）各不相同
任取ai+aj和ak+al（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n）
当j=l时，若ai+aj=ak+al，则ai=ak，矛盾
当j≠l时，若ai+aj=ak+al，则ai+aj＜2aj=2j+1≤al＜ak+al
即ai+aj≠ak+al
所以所有ai+aj（1≤i＜j≤n）各不相同，所以k(A)=n(n-1) 2
（3）不妨设a1＜a2＜＜an，
所以a1+a2＜a1+a3＜＜a1+an＜a2+an＜＜an-1+an
所以ai+aj（1≤i＜j≤n）中至少有2n-3个不同的数，即k（A）≥2n-3
取A={1，2，3，n}，则ai+aj∈{3，4，5，••，2n-1}共2n-3个
所以k（A）的最小值2n-3
