问题
解答题
已知函数f（x）=1nx-x．
（I）若不等式 xf（x）≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围
（Ⅱ）若关于x的方程 f（x）-x3+2ex2-bx=0恰有一解（e为自然对数的底数），求实数b的值．
答案
（I）由题意得xlnx-x2≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，即a≤lnx+x+
对一切x∈（0，+∞）恒成立，12 x
设g（x）=lnx+x+
，x＞0，则g′（x）=12 x
，(x+4)(x-3) x2
当0＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）在（0，3）上单调递减，当x＞3时，g′（x）＞0，g（x）在（3，+∞）上单调递增，
所以g（x）min=g（3）=7+ln3，
所以a∈（-∞，7+ln3]；
（Ⅱ）由题意得，lnx-x-x3+2ex2-bx=0在（0，+∞）上有唯一解，即
=x2-2ex+（b+1）在（0，+∞）上有唯一解，lnx x
设h（x）=
，x＞0，则h′（x）=lnx x
，1-lnx x2
令h′（x）＞0，则0＜x＜e；令h′（x）＜0，则x＞e，
所以h（x）max=h（e）=
；1 e
设k（x）=x2-2ex+（b+1），则k（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
所以k（x）min=k（e）=b+1-e2，
所以当且仅当b+1-e2=
时，方程1 e
=x2-2ex+（b+1）在（0，+∞）上有唯一解，lnx x
所以b=e2+
-1．1 e