问题
解答题
已知函数f（x）=
（I）求a的值； （II）设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2）是函数y=g（x）的图象上两点，g′（x0）=
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答案
（I）因为h（x）=
x2-2x+logax+2（x＞0），1 2
所以h′（x）=x-2+
=1 xlna
(x2-2x+1 x
)，1 lna
因为h（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
所以
(x2-2x+1 x
)≥0在区间（0，+∞）上恒成立，即x2-2x+1 lna
≥0在区间（0，+∞）上恒成立，1 lna
所以△≤0，
又h′（x）存在正零点，故△≥0，
所以△=0，即4-
=0，所以lna=1，4 lna
所以a=e．
（II）结论x0＞x1，理由如下：
由（I），g′（x0）=-
=-1 x0lna
，1 x0
由g′（x0）=
得，x0=y1-y2 x1-x2
，x2-x1 lnx2-lnx1
x1-x0=x1-
=x2-x1 lnx2-lnx1
，x1lnx2-x1lnx1-x2+x1 lnx2-lnx1
∵x1＜x2，∴lnx2-lnx1＞0，
令r（x）=xlnx2-xlnx-x2+x，
r′（x）=lnx2-lnx在（0，x2]上，r′（x）＞0，
所以r（x）在（0，x2]上为增函数，
当x1＜x2时，r（x1）＜r（x2）=0，即x1lnx2-x1lnx1-x2+x1＜0，
从而x0＞x1得到证明．