问题
解答题
已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）
（1）若函数f（x）在x=0，x=2处取得极值，且极小值为-2，求a，b的值．
（2）若x∈[0，1]，函数f（x）在图象上任意一点的切线的斜率为k，求k≤1恒成立时a的取值范围．
答案
（1）由f'（x）=3x2+2ax得x=0或x=-2a 3
∴-
=2得a=-3．…（3分）2a 3
当0＜x＜2时，f'（x）＜0，当x＞2时f'（x）＞0
故当x=2时f（x）取得极小值，f（2）=8+4a+b=-2
所以b=2…（6分）
（2）当x∈[0，1]，k=f'（x）=3x2+2ax≤1恒成立，
即令g（x）=3x2+2ax-1≤0对一切x∈[0，1]恒成立，…（9分）
只需
即a≤-1g(0)=-1≤0 g(1)=2+2a≤0
所以a的取值范围为（-∞，-1]．…（12分）