问题
解答题
设集合S⊊N*，S≠∅，且满足（1）1∉S；（2）若x∈S，则1+
（1）S能否为单元集，为什么？ （2）求出只含两个元素的集合S． （3）满足题设条件的集合S共有几个？为什么？能否列举出来． |
答案
（1）不能，因为1∉S，x∈S且1+
∈S，12 x-1
而1+
≠ 1，12 x-1
如果S是单元素集，必须1+
=x，12 x-1
解得x=1±2
，即S中至少存在两个不同的元素，3
所以S不是为单元集．
（2）因为1+
∈S，且x≠1，12 x-1
用1+
替换X，12 x-1
即1+
=x而x≠1，12 (1+
)-112 x-1
则1+
=x，所以（x-1）2=12，12 x-1
则x=1±2
，而x∈N，所以x不存在，3
即只含两个元素的集合S不存在．
（3）因为1+
∈S，且x≠1，12 x-1
用1+
替换X，12 x-1
即1+
=x，12 (1+
)-112 x-1
所以S最多含有3个元素，
很明显x∈N，且1+
∈N所以x-1必然是12的约数，12 x-1
则x-1可以为1，2，3，4，6，12，
所以满足条件的S共有6个．