问题
解答题
设函数y=x3-3ax2-24a2x+b有正的极大值和负的极小值，其差为4，
（1）求实数a的值；
（2）求b的取值范围．
答案
（1）f'（x）=3x2-6ax-24a2
令f'（x）=0得x2-2ax-8a2=0
∴x1=4a，x2=-2a（2分）
∵f（4a）=b-80a3，f（-2a）=b+28a3，
∴|b-80a3-（b+28a3）|=4（4分）
∴a=±
（6分）1 3
（2）当a=
时，1 3
| x | （-∞，-2a） | -2a | （-2a，4a） | 4a | （4a，+∞） |
| f（x） | + | 0 | - | 0 | + |
∴
（8分）28a3+b＞0 -80a3+b＜0
又a=
得：-1 3
＜b＜28 27
（9分）80 27
同理当a=-
时，1 3
| x | （-∞，-4a） | 4a | （4a，-2a） | -2a | （-2a，+∞） |
| f（x） | + | 0 | - | 0 | + |
∴28a3+b＜0 -80a3+b＞0
又a=-
得，-1 3
＜b＜80 27
（12分）28 27
∴当a=
得：-1 3
＜b＜28 27
；a=-80 27
时，得-1 3
＜b＜80 27
（14分）（结论2分）28 27