问题
解答题
过抛物线x2=2y上两点A（-1，
（1）求证：∠BAM=∠BMA； （2）记过点A、B且中心在坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线为C，F1、F2为C的两个焦点，B1、B2为C的虚轴的两个端点，过点B2作直线PQ分别交C的两支于P、Q，当
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答案
（1）∵y=
x2，1 2
∴y'=x，
切于点A（-1，
）的切线方程为y-1 2
=-（x+1），1 2
切于点B（2，2）的切线方程为y-2=2（x-2），
联立解得M（
，-1），1 2
∵|BA|=|BM|，
∴∠BAM=∠BMA．
（2）设双曲线方程为mx2-ny2=1，
由题意，有m-
n=1且4m-4n=1，1 4
解得m=
，n=1，5 4
∴双曲线方程为
x2-y2=1，5 4
不妨设B1（0，1），B2（0，-1），
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴
=（-x1，1-y1），PB1
=（-x2，1-y2），QB1
∴
•PB1
=x1x2+1-（y1+y2）+y1y2∈（0，4]．QB1
设直线PQ的方程为y=kx-1（k必存在），
由
，y=kx-1
-y2=15x2 4
得（
-k2）x2+2kx-2=05 4
△=4k2+8（
-k2）＞05 4
x1+x2=
，x1x2=8k 4k2-5 8 4k2-5
•PB1
=x1x2+1-（y1+y2）+y1y2QB1
=x1x2+1-k（x1+x2）+2+k2x1x2-k（x1+x2）+1
将x1+x2=
，x1x2=8k 4k2-5
代入，8 4k2-5
得
•PB1
=QB1
+1-k•8 4k2-5
+2+k2•8k 4k2-5
-k•8 4k2-5
+18k 4k2-5
=
+48-8k2 4k2-5
=
．8k2-12 4k2-5
∴
•PB1
=QB1
∈（0，4]，8k2-12 4k2-5
即0＜
≤4，8k2-12 4k2-5
∴
＞08k2-12 4k2-5
≤48k2-12 4k2-5
，① ②
由①得k2≤
，或k2＞5 4
，3 2
由②得k2≤1，或k2＞
，5 4
故k2≤1，或k2＞3 2
解得k∈（-∞，-
）∪[-1，1]∪（6 2
，+∞）．6 2