（Ⅰ）由f（x）=2f（x+1）⇒f（x）=

1

2

f（x-1），x∈[n，n+1]，则（x-n）∈[0，1]

⇒f（x-n）=

27

4

（x-n）²（1+n-x）．

f（x）=

1

2

f（x-1）=

1

22

f（x-2）=…=

1

2n

f（x-n）=

27

2n+2

（x-n）²（1+n-x）．（n=0也适用）．…（4分）

（Ⅱ）f'（x）=-

81

2n+2

(x-n)(x-

3n+2

3

)，由f'（x）=0得x=n或x=n+

2

3

x	n	（n，n+ 2 3 ）	n+ 2 3	（n+ 2 3 ，n+1）	n+1
f'（x）		+	0	-	+
	0	↗	极大	↘	0

f（x）的极大值为f（x）的最大值，fmax=f(n+

2

3

)=

1

2n

，

又f（x）≥f（n）=f（n+1）=0，∴|f（x）|=f（x）≤

1

2n

（x∈[n，n+1]）．…（8分）

（Ⅲ）y=f（x），x∈[0，+∞）即为y=f（x），x∈[n，n+1]，f'（x）=-1．

本题转化为方程f'（x）=-1在[n，n+1]上有解问题

即方程(x-n)(x-

3n+2

3

)-

2n+2

81

=0在[n，n+1]内是否有解．…（11分）

令g（x）=(x-n)(x-

3n+2

3

)-

2n+2

81

=x2-

6n+2

3

x+

3n2+2n

3

-

2n+2

81

6，

对轴称x=n+

1

3

∈[n，n+1]，

又△=…=

4

9

+

2n+4

81

＞0，g（n）=-

2n+2

81

＜0，g（n+1）=

27-2n+2

81

，

①当0≤n≤2时，g（n+1）≥0，∴方程g（x）=0在区间[0，1]，[1，2]，[2，3]上分别有一解，即存在三个点P；

②n≥3时，g（n+1）＜0，方程g（x）=0在[n，n+1]上无解，即不存在这样点P．

综上所述：满足条件的点P有三个．…（16分）