（1）证明：因为f′（x）=ax²+2bx+c…（1分）

于是依题意有f′（1）=a+2b+c=0，①…（1分）

f′（m）=am²+2bm+c=-a，②…（1分）

又由a＜b＜c，可得4a＜a+2b+c＜4c，即4a＜0＜4c，所以a＜0，c＞0，

由①得c=-a-2b，

∵a＜b＜c，a＜0

∴-

1

3

＜

b

a

＜1③…（2分）

将c=-a-2b代入②得am²+2bm-2b=0，即方程ax²+2bx-2b=0有实根，故其判别式△=4b²+8ab≥0，

由此可得(

b

a

)2+2(

b

a

)≥0，

解得

b

a

≤-2或

b

a

≥ 0④…（2分）

由③、④即可得0≤

b

a

＜1；　　…（1分）

（2）由于f′（x）=ax²+2bx+c的判别式△′=4b²-4ac＞0，…（1分）

所以方程a²+2bx+c=0（*）有两个不相等的实数根，设为x₁，x₂，

又由f′（1）=a+2b+c=0知1是（*）的一个根，记x₁=1，…（1分）

则由根与系数的关系得1+x2=-

2b

a

，即x2=-1-

2b

a

＜0＜x1，

当x＜x₂或x＞1时，f'（x）＞0；当x₂＜x＜1时，f'（x）＞0，…（1分）

所以函数f（x）的单调递增区间为[x₂，1]

由题设[x₂，1]=[s，t]，…（1分）

因此|s-t|=|1-x2|=2+

2b

a

，

由（1）知0≤

b

a

＜1，所以|s-t|∈[2，4）．…（1分）