问题 问答题

一名宇航员抵达某星球后,测得:①载人飞船环绕该星球表面n圈所用的时间为t;②摆长为l的单摆在该星球上的周期为T.已知万有引力恒量为G,不计阻力.试根据题中所提供的条件和测量结果,求:

(1)环绕该星球飞行的卫星的最小周期;

(2)该星球的密度;

(3)该星球的第一宇宙速度是多大?

答案

(1)载人飞船绕星球表面运动时,轨道半径最小,周期最小,

由题意知,环绕该星球飞行的卫星的最小周期T最小=

t
n

(2)设星球的质量为M,半径是R,载人飞船质量是m,载人飞船绕星球表面做圆周运动,

轨道半径等于星球半径,载人飞船绕星球做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供,

由牛顿第二定律得:G

mM
R2
=m(
t
n
)2
R,

星球质量M=

4π2n2R3
Gt2
    ①,

星球的密度ρ=

M
V
=
4π2n2R3
Gt2
4
3
πR3
=
n2
Gt2

(3)单摆的周期T=2π

l
g

则星球表面的重力加速度g=

4π2l
T2

位于星球表面的物体m′受到的重力等于万有引力,

即:m′g=G

Mm′
R2
,则GM=gR2 ②,

由①②得:R=

gt2
4π2n2
   ③;

卫星绕星球表面做圆周运动时,即轨道半径等于星球半径时的速度是第一宇宙速度,

万有引力提供向心力,由牛顿第二定律得:

G

Mm
R2
=m
v2
R

v=

GM
R
=
gR2
R
=
gR
=
gt2
4π2n2
=g
t
2πn
=
4π2l
T2
×
t
2πn
=
2πlt
nT2

答:(1)环绕该星球飞行的卫星的最小周期是

t
n

(2)该星球的密度是

n2
Gt2

(3)该星球的第一宇宙速度是

2πlt
nT2

单项选择题
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