问题
问答题
一名宇航员抵达某星球后，测得：①载人飞船环绕该星球表面n圈所用的时间为t；②摆长为l的单摆在该星球上的周期为T．已知万有引力恒量为G，不计阻力．试根据题中所提供的条件和测量结果，求：
（1）环绕该星球飞行的卫星的最小周期；
（2）该星球的密度；
（3）该星球的第一宇宙速度是多大？
答案
（1）载人飞船绕星球表面运动时，轨道半径最小，周期最小，
由题意知，环绕该星球飞行的卫星的最小周期T最小=
；t n
（2）设星球的质量为M，半径是R，载人飞船质量是m，载人飞船绕星球表面做圆周运动，
轨道半径等于星球半径，载人飞船绕星球做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，
由牛顿第二定律得：G
=m(mM R2
)2R，2π t n
星球质量M=
①，4π2n2R3 Gt2
星球的密度ρ=
=M V
=4π2n2R3 Gt2
πR34 3
；3πn2 Gt2
（3）单摆的周期T=2π
，l g
则星球表面的重力加速度g=
，4π2l T2
位于星球表面的物体m′受到的重力等于万有引力，
即：m′g=G
，则GM=gR2 ②，Mm′ R2
由①②得：R=
③；gt2 4π2n2
卫星绕星球表面做圆周运动时，即轨道半径等于星球半径时的速度是第一宇宙速度，
万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G
=mMm R2
，v2 R
v=
=GM R
=gR2 R
=gR
=gg× gt2 4π2n2
=t 2πn
×4π2l T2
=t 2πn
；2πlt nT2
答：（1）环绕该星球飞行的卫星的最小周期是
．t n
（2）该星球的密度是
．3πn2 Gt2
（3）该星球的第一宇宙速度是
．2πlt nT2
+
+X
