问题
填空题
(文)设集合A⊆R,如果x0∈R满足:对任意a>0,都存在x∈A,使得0<|x-x0|<a,那么称x0为集合A的聚点.则在下列集合中: (1)Z+∪Z- (2)R+∪R- (3){
(4){
以0为聚点的集合有______(写出所有你认为正确结论的序号). |
答案
(1)对于某个a<1,比如a=0.5,此时对任意的x∈Z+∪Z-,都有|x-0|=0或者|x-0|≥1,也就是说不可能0<|x-0|<0.5,从而0不是Z+∪Z-的聚点;
(2)集合{x|x∈R,x≠0},对任意的a,都存在x=
(实际上任意比a小得数都可以),使得0<|x|=a 2
<aa 2
∴0是集合{x|x∈R,x≠0}的聚点;
(3)中,集合{
|n∈N*}中的元素是极限为1的数列,除了第一项0之外,其余的都至少比0大 n n+1
,1 2
∴在a<
的时候,不存在满足得0<|x|<a的x,1 2
∴0不是集合{
|n∈N*}的聚点;n n+1
(4)集合{
|n∈N*}中的元素是极限为0的数列,对于任意的a>0,存在n>1 n
,使0<|x|=1 a
<a1 n
∴0是集合 {
|n∈N*}的聚点1 n
故答案为(2)(4)