问题 填空题
(文)设集合A⊆R,如果x0∈R满足:对任意a>0,都存在x∈A,使得0<|x-x0|<a,那么称x0为集合A的聚点.则在下列集合中:
(1)Z+∪Z-
(2)R+∪R-
(3){
n
n+1
|n∈N*}

(4){
1
n
|n∈N*}

以0为聚点的集合有______(写出所有你认为正确结论的序号).
答案

(1)对于某个a<1,比如a=0.5,此时对任意的x∈Z+∪Z-,都有|x-0|=0或者|x-0|≥1,也就是说不可能0<|x-0|<0.5,从而0不是Z+∪Z-的聚点;

(2)集合{x|x∈R,x≠0},对任意的a,都存在x=

a
2
(实际上任意比a小得数都可以),使得0<|x|=
a
2
<a

∴0是集合{x|x∈R,x≠0}的聚点;

(3)中,集合{

n
n+1
|n∈N*}中的元素是极限为1的数列,除了第一项0之外,其余的都至少比0大
1
2

∴在a<

1
2
的时候,不存在满足得0<|x|<a的x,

∴0不是集合{

n
n+1
|n∈N*}的聚点;

(4)集合{

1
n
|n∈N*}中的元素是极限为0的数列,对于任意的a>0,存在n>
1
a
,使0<|x|=
1
n
<a

∴0是集合 {

1
n
|n∈N*}的聚点

故答案为(2)(4)

选择题
单项选择题 A1/A2型题