问题
填空题
抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A,B在抛物线上,且∠AFB=120°,过弦AB中点M作准线l的垂线,垂足为M1,则
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答案
设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF
由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中,2|MM1|=|AQ|+|BP|=a+b.
由余弦定理得,
|AB|2=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab
配方得,|AB|2=(a+b)2-ab,
又∵ab≤(
)2,a+b 2
∴(a+b)2-ab≥(a+b)2-
(a+b)2=1 4
(a+b)23 4
得到|AB|≥
(a+b).3 2
所以
≤|MM1| |AB|
=
(a+b)1 2
(a+b)3 2
,3 3
即
的最大值为|MM1| |AB|
.3 3
故答案为:
.3 3