（必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，

则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面

⇔对空间任一点O，存在实数x₁、y₁，使得

OA

=

OB

+x₁

BC

+y₁

BD

=

OB

+x₁（

OC

-

OB

）+y₁（

OD

-

OB

）

=（1-x₁-y₁）

OB

+x₁

OC

+y₁

OD

，

取x=1-x₁-y₁、y=x₁、z=y₁，

则有

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

，且x+y+z=1．

（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

．

所以x=1-y-z得

OA

=（1-y-z）

OB

+y

OC

+z

OD

．

OA

=

OB

+y

BC

+z

BD

，即：

BA

=y

BC

+z

BD

，

所以四点A、B、C、D共面．

所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：

对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

．