证明：（1）如果a＜-2，则|a₁|=|a|＞2，a∉M．（2分）

（2）当0＜a≤

1

4

时，|an|≤

1

2

（∀n≥1）．

事实上，〔i〕当n=1时，|a1|=|a|≤

1

2

．

设n=k-1时成立（k≥2为某整数），

则〔ii〕对n=k，|ak|≤|ak-1|2+a≤(

1

2

)2+

1

4

=

1

2

．

由归纳假设，对任意n∈N^*，|a_n|≤

1

2

＜2，所以a∈M．（6分）

（3）当a＞

1

4

时，a∉M．证明如下：

对于任意n≥1，an＞a＞

1

4

，且a_n+1=a_n²+a．

对于任意n≥1，an+1-an=

a

2n

-an+a=(an-

1

2

)2+a-

1

4

≥a-

1

4

，

则an+1-an≥a-

1

4

．

所以，an+1-a=an+1-a1≥n(a-

1

4

)．

当n＞

2-a

a- 1 4

时，an+1≥n(a-

1

4

)+a＞2-a+a=2，

即a_n+1＞2，因此a∉M．（10分）