（1）∵f（x）=

1+alnx

x

∴f^′（x）=

a-1-alnx

x2

∵函数f（x）在x=1处取得极值

∴f^′（1）=a-1=0

∴a=1

经检验，a=1时f^′（x）=-

lnx

x2

故0＜x＜1时f^′（x）＞0，x＞1时f^′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减故f（x）在x=1处取得极值．

∴a=1

（2）由（1）可知a=1

∴f（x）=

1+lnx

x

∴f^′（x）=-

lnx

x2

设切点A（x₀，y₀）

∴k=f^′（x₀）=-

Inx0

x 20

又∵k=k_OA=

1+lnx0

x02

∴

1+Inx0

x 20

=-

Inx0

x 20

∴lnx₀=-

1

2

∴x0= e-

1

2

∴k=k_OA=

1+lnx0

x02

=

1- 1 2

(e- 1 2 )2

=

e

2