若存在常数k和b，使得函数f（x）和g（x）在它们的公共定义域上的

问题解答题

若存在常数k和b，使得函数f（x）和g（x）在它们的公共定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知f（x）=x²，g（x）=2elnx．

（I）求F（x）=f（x）-g（x）的极值；

（II）函数f（x）和g（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线的方程，若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵F（x）=f（x）-g（x）=x²-2clnx（x＞0），

∴F′（x）=2x-

=（2x²-2c）/x=

2(x-

)(x+

)

令F′（X）=0，得x=

，

当0＜x＜

时，F′（X）＜0，X＞

时，F′（x）＞0

故当x=

时，F（x）取到最小值，最小值是0

（2）由（1）可知，函数f（x）和g（x）的图象在x=

处有公共点，因此存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y-e=k（x-

，即y=kx-k

由f（x）≥kx-k

+e（x⊂R），可得x^2-kx-k

+e，

由f（x）≥kx-k

+e（x⊂R），可得x²-kx+k

-e≥0当x⊂R恒成立，

则△=k2-4k

+4e=（k-2

）^2≤0，只有k=2

，此时直线方程为：y=2

x-e，

下面证明g（x）≤2

x-e^{exx＞0时恒成立
令G（x）=2
e
x-e-g（x）=2
ex-e-2elnx，
G′（X）=2
c
-2c
x=（2
cx-2c）/x=2
c（x-
e）/x，
当x=
e
时，G′（X）=0，当0＜x＜
e时G′（X）＞0，
则当x=
e
时，G（x）取到最小值，极小值是0，也是最小值．
所以G（x）=2
e
x-e-g（x）≥0，则g（x）≤2
ex-e当x＞0时恒成立．
∴函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2
e
x-e}