（Ⅰ）∵函数f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)，

∴f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

（x＞0）．

∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，

∴f'（1）=f'（3），

即a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+

2

3

，

解得a=

2

3

．

（Ⅱ）f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

（x＞0）．

①当a≤0时，x＞0，ax-1＜0，

在区间（0，2）上，f'（x）＞0；

在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，

故f（x）的单调递增区间是（0，2），

单调递减区间是（2，+∞）．

②当0＜a＜

1

2

时，

1

a

＞2，

在区间（0，2）和(

1

a

，+∞)上，f'（x）＞0；

在区间(2，

1

a

)上f'（x）＜0，

故f（x）的单调递增区间是（0，2）和(

1

a

，+∞)，单调递减区间是(2，

1

a

)

③当a=

1

2

时，f′(x)=

(x-2)2

2x

，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．

④当a＞

1

2

时，0＜

1

a

＜2，在区间(0，

1

a

)和（2，+∞）上，f'（x）＞0；

在区间(

1

a

，2)上f'（x）＜0，

故f（x）的单调递增区间是(0，

1

a

)和（2，+∞），单调递减区间是(

1

a

，2)．

（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）_max＜g（x）_max．

由已知，g（x）_max=0，由（Ⅱ）可知，

①当a≤

1

2

时，f（x）在（0，2]上单调递增，

故f（x）_max=f（2）=2a-2（2a+1）+2ln2=-2a-2+2ln2，

所以，-2a-2+2ln2＜0，解得a＞ln2-1，

故ln2-1＜a≤

1

2

．

②当a＞

1

2

时，f（x）在(0，

1

a

]上单调递增，

在[

1

a

，2]上单调递减，

故f(x)max=f(

1

a

)=-2-

1

2a

-2lna．

由a＞

1

2

可知lna＞ln

1

2

＞ln

1

e

=-1，

2lna＞-2，-2lna＜2，

所以，-2-2lna＜0，f（x）_max＜0，

综上所述，a＞ln2-1．