（1）因为f（x）=

1+lnx

x

，x＞0，则f′（x）=-

lnx

x2

，

当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．

所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，

所以函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）=1，无极小值．

（2）不等式f（x）≥

k

x+1

，即为

(x+1)(1+lnx)

x

≥k，

记g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，则g′（x）=

[(x+1)(1+lnx)]′x-(x+1)(1+lnx)

x2

=

x-lnx

x2

，

令h（x）=x-lnx，则h′（x）=1-

1

x

，

∵x≥1，∴h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，

∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，从而g′（x）＞0，故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，

所以[g（x）]_min=g（1）=2，

所以k≤2，即实数k的取值范围是（-∞，2]．

（3）由（2）知：f（x）≥

2

x+1

恒成立，即lnx≥

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

，

令x=n（n+1），则ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，

所以ln（1×2）＞1-

2

1×2

，ln（2×3）＞1-

2

2×3

，ln（3×4）＞1-

2

3×4

，…，ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，

叠加得：ln[1×2²×3²×…×n²（n+1）]＞n-2[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

]=n-2（1-

1

n+1

）＞n-2+

1

n+1

＞n-2．

则1×2²×3²×…×n²（n+1）＞e^n-2，

所以[（n+1）!]²＞（n+1）e^n-2（n∈N^*）．