（Ⅰ）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同，

∵f′（x）=x+2a，g′(x)=

3a2

x

，

由题意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）

1 2 x02+2ax=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

，

由x0+2a=

3a2

x0

得x₀=a，x₀=-3a（舍去）即有b=

1

2

a2+2a2-3a2lna=

5

2

a2-3a2lna（3分）

令h(t)=

5

2

t2-3t2lnt(t＞0)，则h′（t）=2t（1-3lnt）

当t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e

1

3

时，h'（t）＞0；

当t（1-3lnt）＜0，即t＞e

1

3

时，h'（t）＜0．

故h（t）在(0，e

1

3

)为增函数，在(e

1

3

，+∞)为减函数，

于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h(e

1

3

)=

3

2

e

2

3

（6分）

（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+2ax-3a2lnx-b(x＞0)，

则F'（x）=x+2a-

3a2

x

=

(x-a)(x+3a)

x

(x＞0)（10分）

故F（x）在（0，a）为减函数，在（a，+∞）为增函数，

于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x₀）=f（x₀）-g（x₀）=0．

故当x＞0时，有f（x）-g（x）≥0，即当x＞0时，f（x）≥g（x）（12分）