问题 解答题
已知函数f(x)在R上有定义,对任意实数a>0和任意实数x都有f(ax)=a﹒f(x).
(1)证明:f(0)=0
(2)若f(1)=1,求g(x)=
1
f(x)
+f(x).(x>0)
的极值.
答案

(1)证明:令x=0,则f(0)=af(0),

∵a>0,∴f(0)=0.

(2)由于f(1)=1

则f(x)=f(x•1)=x•f(1)=x

g(x)=

1
f(x)
+f(x)=
1
x
+x.(x>0)

可得g′(x)=1-

1
x2
=
(x+1)(x-1)
x2
  (x>0)

g (x)>0,则x>1或x<-1;令g (x)<0,则-1<x<1.

故函数g(x)在x=-1处取得极大值,且极大值为-2,函数g(x)在x=1处取得极小值,且极小值为2.

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