问题
解答题
已知函数f（x）=x3+x，g(x)=
（1）若曲线y=f（x）的切线过点（1，2），求其切线方程； （2）若对任意的x1∈[1，3]，存在x2∈[1，3]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围； （3）若对任意的x1，x2∈[1，3]都有f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围． |
答案
（1）∵f（x）=x3+x，
∴f'（x）=3x2+1．
设切点为（x0，x03+x0），
则其切线方程为：y-（x03+x0）=（3x02+1）（x-x0）．
又切线过点（1，2），
∴（x0-1）2（2x0+1）=0，
∴x0=1或x0=-
．1 2
∴所求切线方程为：4x-y-2=0或7x-4y+1=0．
（2）“对任意的x1∈[1，3]，存在x2∈[1，3]，使得f（x1）≥g（x2）成立”
等价于f（x）min≥g（x）min，
∵f（x）=x3+x在[1，3]上是单调递增函数，
∴f（x）min=f（1）=2．
g(x)=
=x+x2+ax+4 x
+a在[1，2]上单调递减，4 x
在[2，3]上单调递增，
∴g（x）min=g（2）=4+a，
∴4+a≤2，
即a≤-2．
（3）“对任意的x1，x2∈[1，3]都有f（x1）≥g（x2）成立”
等价于f（x）min≥g（x）max．
而f（x）min=f（1）=2，
g（x）max=g（1）=5+a，
∴a≤-3．