答案：C

分析：先把六个面分为三组，在一组组的进行研究，找到直线与截面法向量的夹角即可得到结论．

解：首先，把六个面分成三组，AA₁D₁D和BB₁C₁C对截面的关系是一样的，其他四个是一样的，

以点D为原点，AD所在直线为X轴，DC所在直线为Y轴，DD₁所在直线为Z轴，

设正方体棱长为2；

则A（2，0，0），D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（2，1，0），

F（0，1，2），A₁（2，0，2），B₁（2，2，2，），C₁（0，2，2），D₁（0，0，2）；

∴=（-2，1，0），=（（0，1，2），=（-2，2，0），=（-2，-2，0），=（-2，0，-2），=（0，-2，-2）；=（0，2，-2）

因为要想面对角线截面A₁ECF成60°角，需要直线与法向量的夹角为30度，即其余弦值为±．

设截面A₁ECF的法向量为=（x，y，z），

由??=（1，2，1），且||=，

因为cos＜，＞===≠±；

cos＜，＞==-，

cos＜，＞=≠±；

cos（，＞==-；

cos＜，＞=≠±；

再看AA₁D₁D这个面里，

AD₁与EF平行，不是，

所以，一共四条．

故选：C．