问题
解答题
已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为
（Ⅰ）求椭圆Ω的方程； （Ⅱ）若在椭圆
（Ⅲ）是否存在实数λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立？（点C为直线AB恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． |
答案
（I）设椭圆方程为
+x2 a2
=1(a＞b＞0)．y2 b2
抛物线y2=-4x的焦点是（-1，0），故c=1，又
=c a
，1 2
所以a=2，b=
=a2-c2
，3
所以所求的椭圆Ω方程为
+x2 4
=1…（4分）y2 3
（II）设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
直线l上一点M的坐标（4，t）．
则切线方程分别为
+x1x 4
=1，y1y 3
+x2x 4
=1．y2y 3
又两切线均过点M，
即x1+
y1=1，x2+t 3
y2=1，t 3
即点A，B的坐标都适合方程x+
y=1，而两点之间确定唯一的一条直线，t 3
故直线AB的方程是x+
y=1，显然对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，t 3
故直线AB恒过定点C（1，0）． …（9分）
（III）将直线AB的方程x=-
y+1，代入椭圆方程，t 3
得3(-
y+1)2+4y2-12=0，即(t 3
+4) y2-2ty-9=0t2 3
所以y1+y2=
，y1y2=6t t2+12 -27 t2+12
不妨设y1＞0，y2＜0|AC|=
=(x1-1)2+ y 21
=(
+1)t2 9 y 21
y1，t2+9 3
同理|BC|=-
y2…（12分）t2+9 3
所以
+1 |AC|
=1 |BC|
•(3 t2+9
-1 y1
)=1 y2
•3 t2+9
=-y2-y1 y1y2
•3 t2+9
=-(y2-y1)2 y1y2
•3 t2+9
=(
)2+6t t2+12 108 t2+12 -27 t2+12
•1 t2+9
=144t2+9×144 9 4 3
即|AC|+|BC|=
|AC|•|BC|．4 3
故存在实数λ=
，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|． …（15分）4 3