问题
解答题
| 有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分． （1）选修4-2：矩阵与变换 已知点A（1，0），B（2，2），C（3，0），矩阵M表示变换”顺时针旋转45°”． （Ⅰ）写出矩阵M及其逆矩阵M-1； （Ⅱ）请写出△ABC在矩阵M-1对应的变换作用下所得△A1B1C1的面积． （2）选修4-4：坐标系与参数方程 过P（2，0）作倾斜角为α的直线l与曲线E：
（Ⅰ）求曲线E的普通方程及l的参数方程； （Ⅱ）求sinα的取值范围． （3）（选修4-5 不等式证明选讲） 已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3， （Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值． |
答案
（1）（Ⅰ）M=
=cos(-45°) -sin(-45°) sin(-45°) cos(-45°) 2 2 2 2 - 2 2 2 2
∵矩阵M表示变换“顺时针旋转45°”
∴矩阵M-1表示变换“逆时针旋转45°”
∴M-1=
=cos45° -sin45° sin45° cos45° 2 2 - 2 2 2 2 2 2
（Ⅱ）三角形ABC的面积S△ABC=
×（3-1）×2=2，1 2
由于△ABC在旋转变换下所得△A1B1C1与△ABC全等，故三角形的面积不变，即S△A1B1C1=2．
（2）（Ⅰ）曲线E的普通方程为x2+2y2=1
L的参数方程为
（t为参数） x=2+tcosα y=tsinα
（Ⅱ）将L的参数方程代入由线E的方程得（1+sin2α）t2+（4cosα）t+3=0
由△=（4cosα）2-4（1+sin2α）×3≥0得sin2α≤1 7
∴0≤sinα≤7 7
（3）（Ⅰ）证明：由柯西不等式得(
+a
+b
)2≤(a+b+c)(1+1+1)c
代入已知a+b+c=3，∴(
+a
+b
)2≤9c
+a
+b
≤3c
当且仅当a=b=c=1，取等号．
（Ⅱ）由a+b≥2
得2ab
+c≤3，若c=ab，则2ab
+c≤3，(c
+3)(c
-1)≤0，c
所以
≤1，c≤1，当且仅当a=b=1时，c有最大值1．c